Το άθροισμα του Gauss και οι χειραψίες…

Ο κ. Λάμπρος αποφάσισε να διοργανώσει μία δεξίωση στο σπίτι του και για το σκοπό αυτό κάλεσε δέκα (10) πολύ καλούς του φίλους. Το γεύμα που τους παρέθεσε ήταν εντυπωσιακό και οι καλεσμένοι έμειναν απόλυτα ικανοποιημένοι.

Όταν η δεξίωση ολοκληρώθηκε οι καλεσμένοι, πριν αποχωρήσουν από την οικία του οικοδεσπότη κ. Λάμπρου, όφειλαν:

α) να χαιρετηθούν όλοι μεταξύ τους ανά δύο, από μία μόνο φορά και φυσικά να
β) χαιρετήσουν στο τέλος τον οικοδεσπότη, τον κ. Λάμπρο ευχαριστώντας τον για την υπέροχη βραδιά.

Πόσες χειραψίες έγιναν συνολικά από τους έντεκα (11) συμμετέχοντες;


Σίγουρα αναρωτιέστε ποια μπορεί να είναι η απάντηση!!!

Την απάντηση στο πρόβλημα αυτό μας τη δίνει ο Γερμανός Μαθηματικός Gauss (!), με τρόπο όμοιο με αυτόν που υπολόγισε το άθροισμά των φυσικών αριθμών από το 1 έως και το 100.

Ας δεχθούμε για λόγους ευκολίας (χρήση ελληνικού αλφάβητου) ότι οι δέκα (10) καλεσμένοι του κ. Λάμπρου – οικοδεσπότη είχαν τα ακόλουθα ονόματα: (κάθε αρχικό γράμμα του ονόματος δείχνει τη σειρά αποχώρησης του καλεσμένου από τη δεξίωση)

Ανδρέας Βασίλης Γιώργος Δημήτρης Ερρίκος Ζήσης Ηλίας Θάνος, Ιάσωνας, Κώστας

Ο Ανδρέας, αφού χαιρετίσει έναν - έναν τους 9 υπόλοιπους καλεσμένους και τον οικοδεσπότη, δηλαδή αφού κάνει συνολικά 10 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι.

Ο Βασίλης, αφού χαιρετίσει έναν - έναν τους 8 υπόλοιπους καλεσμένους (ο Ανδρέας έχει φύγει) και τον οικοδεσπότη, δηλαδή αφού κάνει συνολικά 9 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι.

Ο Γιώργος, αφού χαιρετίσει έναν - έναν τους 7 υπόλοιπους καλεσμένους (ο Ανδρέας και ο Βασίλης έχουν φύγει) και τον οικοδεσπότη, δηλαδή αφού κάνει συνολικά 8 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι.

Ο Δημήτρης, αφού χαιρετίσει έναν - έναν τους 6 καλεσμένους που απομένουν και τον οικοδεσπότη, δηλαδή αφού κάνει συνολικά 7 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι.

Με ανάλογο τρόπο:

Ο Ερρίκος αφού κάνει συνολικά 6 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι,
Ο Ζήσης αφού κάνει συνολικά 5 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι,
Ο Ηλίας αφού κάνει συνολικά 4 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι,
Ο Θάνος αφού κάνει συνολικά 3 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι
Ο Ιάσωνας αφού κάνει συνολικά 2 χειραψίες αποχωρεί από το σπίτι
Ο Κώστας αφού κάνει συνολικά 1 χειραψία, δηλαδή αφού χαιρετίσει τελευταίος τον οικοδεσπότη κ. Λάμπρο αποχωρεί από το σπίτι

Από τα παραπάνω φαίνεται ότι έγιναν συνολικά:

1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1+10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) =
= 11 * 5 = 55 χειραψίες!!!


Εάν 10 καλεσμένοι σας φαίνονται λίγοι για μία δεξίωση, τότε … εάν στη δεξίωσή σας καλέσετε:

• 100 άτομα, θα γίνουν συνολικά: 50 * 101 = 5.050 χειραψίες,
• 1000 άτομα, θα γίνουν συνολικά: 500 * 1001 = 500.500 χειραψίες!!!